Thực đơn
Hàm_lượng_giác Định nghĩa bằng phương trình vi phânCả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân
y ″ = − y {\displaystyle y\,''=-y}Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.
Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.
Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.
Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến sau:
y ′ = 1 + y 2 {\displaystyle y\,'=1+y^{2}}với điều kiện biên y(0) = 0. Xem cho một chứng minh của công thức này.
Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là radian. Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k. Ví dụ, nếu x được tính bằng độ, k sẽ là:
k = π 180 . {\displaystyle k={\frac {\pi }{180}}.}Lúc đó:
f ( x ) = sin ( k x ) ; k ≠ 0 , k ≠ 1 {\displaystyle f(x)=\sin(kx);k\neq 0,k\neq 1\,}và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân tử này:
f ′ ( x ) = k cos ( k x ) {\displaystyle f'(x)=k\cos(kx)\,} .Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn:
y ″ = − k 2 y {\displaystyle y''=-k^{2}y\,}Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác.
Thực đơn
Hàm_lượng_giác Định nghĩa bằng phương trình vi phânLiên quan
Hàm lượng giác Hàm liên tục Hàm lồi Hàm Lyapunov Hàm logistic Hàm lỗi Hàm Long Hàm lồi chính thường Hàm logarit Hàm LiêmTài liệu tham khảo
WikiPedia: Hàm_lượng_giác http://www.walterzorn.com/grapher/grapher_e.htm http://babbage.clarku.edu/~djoyce/java/trig/ http://www.pupress.princeton.edu/books/maor/ http://www.usfca.edu/vca http://www.usfca.edu/vca/PDF/vca-preface.pdf http://d-nb.info/gnd/4186137-1 http://id.ndl.go.jp/auth/ndlna/00570156 http://www.hkshum.net/Math http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopic...